题目：
from Crypto.Util.number import getPrime
from gmpy2 import invert
from libnum import s2n
from secret import flag
p = getPrime(2048)
q = getPrime(2048)
n = p * q
d = getPrime(64)
e = invert(d, (p - 1) * (q - 1))
c = pow(s2n(flag), e, n)
print(f"n = {n}")
print(f"e = {e}")
print(f"c = {c}")
n = 507419170088344932990702256911694788408493968749527614421614568612944144764889717229444020813658893362983714454159980719026366361318789415279417172858536381938870379267670180128174798344744371725609827872339512302232610590888649555446972990419313445687852636305518801236132032618350847705234643521557851434711389664130274468354405273873218264222293858509477860634889001898462547712800153111774564939279190835857445378261920532206352364005840238252284065587291779196975457288580812526597185332036342330147250312262816994625317482869849388424397437470502449815132000588425028055964432298176942124697105509057090546600330760364385753313923003549670107599757996810939165300581847068233156887269181096893089415302163770884312255957584660964506028002922164767453287973102961910781312351686488047510932997937700597992705557881172640175117476017503918294534205898046483981707558521558992058512940087192655700351675718815723840568640509355338482631416345193176708501897458649841539192993142790402734898948352382350766125000186026261167277014748183012844440603384989647664190074853086693408529737767147592432979469020671772152652865219092597717869942730499507426269170189547020660681363276871874469322437194397171763927907099922324375991793759
e = 77310199867448677782081572109343472783781135641712597643597122591443011229091533516758925238949755491395489408922437493670252550920826641442189683907973926843505436730014899918587477913032286153545247063493885982941194996251799882984145155733050069564485120660716110828110738784644223519725613280140006783618393995138076030616463398284819550627612102010214315235269945251741407899692274978642663650687157736417831290404871181902463904311095448368498432147292938825418930527188720696497596867575843476810225152659244529481480993843168383016583068747733118703000287423374094051895724494193455175131120243097065270804457787026492578916584536863548445813916819417857064037664101684455000184987531252344582899589746272173970083733130106407810619258077266603898529285634495710846838011858287024329514491058790557305041389614650730267774482954666726949886313386881066593946789460028399523245777171320319444673551268379126203862576627540177888290265714418064334752499940587750374552330008143708562065940245637685833371348603338834447212248648869514585047871442060412622164276894766238383894693759347590977926306581080390685360615407766600573527565016914830132066428454738135380178959590692145577418811677639050929791996313180297924833690095
c = 165251729917394529793163344300848992394021337429474789711805041655116845722480301677817165053253655027459227404782607373107477419083333844871948673626672704233977397989843349633720167495862807995411682262559392496273163155214888276398332204954185252030616473235814999366132031184631541209554169938146205402400412307638567132128690379079483633171535375278689326189057930259534983374296873110199636558962144635514392282351103900375366360933088605794654279480277782805401749872568584335215630740265944133347038070337891035560658434763924576508969938866566235926587685108811154229747423410476421860059769485356567301897413767088823807510568561254627099309752215808220067495561412081320541540679503218232020279947159175547517811501280846596226165148013762293861131544331444165070186672186027410082671602892508739473724143698396105392623164025712124329254933353509384748403154342322725203183050328143736631333990445537119855865348221215277608372952942702104088940952142851523651639574409075484106857403651453121036577767672430612728022444370874223001778580387635197325043524719396707713385963432915855227152371800527536048555551237729690663544828830627192867570345853910196397851763591543484023134551876591248557980182981967782409054277224
从题目中我们看出，e 非常大，且d很小只有64位（小于 n^(1/4)），故猜测使用维纳攻击破解。
算法原理：
- 由于 d 小于 n^(1/4),因此 φ(n) 约等于 n
- 所以 ed ≡ 1 (mod φ(n)) 可以近似为 ed ≡ 1 (mod n)
- 这意味着 (ed-1)/k ≈ φ(n),因此可以通过寻找满足这个条件的渐进分数 d/k 来恢复 d
- 一旦找到满足条件的 d,就可以根据 p+q 和 pq 的关系求出 p 和 q,进而计算出私钥 d
攻击脚本
import gmpy2
from Cryptodome.Util.number import *
import gmpy2
# phin = (p-1)*(q-1) = pq - (p + q) + 1 = N - (p+q)+1
# p,q 很大 pq >> pq
# phin 约等于N
# e * d = 1 mod phin
# ed - 1 = k * phin 两边同除以d*phin
# e/phin - k/d = 1/(d*phin)
# phin 约等于N
# e/N - k/d = 1/(d*phin)
# d*phin 很大 e/N 略大于k/d， e N已知 因此k/d 用 e/N 连分数展开 算出每个渐进分数
# e/N 略大 k/d 计算出e/N 用k/d计算e/N的连分数，依次计算每个渐进分数 wiener证明 该攻击可以覆盖kd
# N = pq
# phin = (p-1)*(q-1) = pq - (p + q) + 1 = N - (p+q)+1
# 构造一元二次方程 x^2 - (p+q)x+pq = x^2 - (N - phin+1)x+N = 0
# 可以解pq
# 原理可参考：
# 1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/400818185
# 2、https://blog.csdn.net/rreally/article/details/111092579
def transform(x, y): # 使用辗转相处将分数 x/y 转为连分数的形式
res = []
while y:
res.append(x // y)
x, y = y, x % y
return res
def continued_fraction(sub_res):
numerator, denominator = 1, 0
for i in sub_res[::-1]: # 从sublist的后面往前循环
denominator, numerator = numerator, i * numerator + denominator
return denominator, numerator # 得到渐进分数的分母和分子，并返回
# 求解每个渐进分数
def sub_fraction(x, y):
res = transform(x, y)
res = list(map(continued_fraction, (res[0:i] for i in range(1, len(res))))) # 将连分数的结果逐一截取以求渐进分数
return res
def get_pq(a, b, c): # 由p+q和pq的值通过维达定理来求解p和q
par = gmpy2.isqrt(b * b - 4 * a * c) # 由上述可得，开根号一定是整数，因为有解
x1, x2 = (-b + par) // (2 * a), (-b - par) // (2 * a)
return x1, x2
def wienerAttack(e, n):
for (d, k) in sub_fraction(e, n): # 用一个for循环来注意试探e/n的连续函数的渐进分数，直到找到一个满足条件的渐进分数
if k == 0: # 可能会出现连分数的第一个为0的情况，排除
continue
if (e * d - 1) % k != 0: # ed=1 (mod φ(n)) 因此如果找到了d的话，(ed-1)会整除φ(n),也就是存在k使得(e*d-1)//k=φ(n)
continue
phi = (e * d - 1) // k # 这个结果就是 φ(n)
px, qy = get_pq(1, n - phi + 1, n)
if px * qy == n:
p, q = abs(int(px)), abs(int(qy)) # 可能会得到两个负数，负负得正未尝不会出现
d = gmpy2.invert(e, (p - 1) * (q - 1)) # 求ed=1 (mod φ(n))的结果，也就是e关于 φ(n)的乘法逆元d
return d
print("该方法不适用")
# 分解n 得到pq
n = 507419170088344932990702256911694788408493968749527614421614568612944144764889717229444020813658893362983714454159980719026366361318789415279417172858536381938870379267670180128174798344744371725609827872339512302232610590888649555446972990419313445687852636305518801236132032618350847705234643521557851434711389664130274468354405273873218264222293858509477860634889001898462547712800153111774564939279190835857445378261920532206352364005840238252284065587291779196975457288580812526597185332036342330147250312262816994625317482869849388424397437470502449815132000588425028055964432298176942124697105509057090546600330760364385753313923003549670107599757996810939165300581847068233156887269181096893089415302163770884312255957584660964506028002922164767453287973102961910781312351686488047510932997937700597992705557881172640175117476017503918294534205898046483981707558521558992058512940087192655700351675718815723840568640509355338482631416345193176708501897458649841539192993142790402734898948352382350766125000186026261167277014748183012844440603384989647664190074853086693408529737767147592432979469020671772152652865219092597717869942730499507426269170189547020660681363276871874469322437194397171763927907099922324375991793759
e = 77310199867448677782081572109343472783781135641712597643597122591443011229091533516758925238949755491395489408922437493670252550920826641442189683907973926843505436730014899918587477913032286153545247063493885982941194996251799882984145155733050069564485120660716110828110738784644223519725613280140006783618393995138076030616463398284819550627612102010214315235269945251741407899692274978642663650687157736417831290404871181902463904311095448368498432147292938825418930527188720696497596867575843476810225152659244529481480993843168383016583068747733118703000287423374094051895724494193455175131120243097065270804457787026492578916584536863548445813916819417857064037664101684455000184987531252344582899589746272173970083733130106407810619258077266603898529285634495710846838011858287024329514491058790557305041389614650730267774482954666726949886313386881066593946789460028399523245777171320319444673551268379126203862576627540177888290265714418064334752499940587750374552330008143708562065940245637685833371348603338834447212248648869514585047871442060412622164276894766238383894693759347590977926306581080390685360615407766600573527565016914830132066428454738135380178959590692145577418811677639050929791996313180297924833690095
c = 165251729917394529793163344300848992394021337429474789711805041655116845722480301677817165053253655027459227404782607373107477419083333844871948673626672704233977397989843349633720167495862807995411682262559392496273163155214888276398332204954185252030616473235814999366132031184631541209554169938146205402400412307638567132128690379079483633171535375278689326189057930259534983374296873110199636558962144635514392282351103900375366360933088605794654279480277782805401749872568584335215630740265944133347038070337891035560658434763924576508969938866566235926587685108811154229747423410476421860059769485356567301897413767088823807510568561254627099309752215808220067495561412081320541540679503218232020279947159175547517811501280846596226165148013762293861131544331444165070186672186027410082671602892508739473724143698396105392623164025712124329254933353509384748403154342322725203183050328143736631333990445537119855865348221215277608372952942702104088940952142851523651639574409075484106857403651453121036577767672430612728022444370874223001778580387635197325043524719396707713385963432915855227152371800527536048555551237729690663544828830627192867570345853910196397851763591543484023134551876591248557980182981967782409054277224
d = wienerAttack(e, n)
m = gmpy2.powmod(c, d, n)
print(long_to_bytes(m))
